С ПОМОЩЬЮ КОМПЛЕКСНЫХ ВЕЛИЧИН

Расчеты электронных цепей гармонического тока в тригонометрической форме либо графически при помощи векторных диаграмм используются на практике исключительно в случае обычных схем.

С усложнением электронных цепей, с повышением числа конту­ров, источников энергии, добавлением вза­имных индуктивностей и т. д. три­гонометрические либо графические расчеты становятся очень затруд­нительными С ПОМОЩЬЮ КОМПЛЕКСНЫХ ВЕЛИЧИН. Требуется способ, по­зволяющий рассчитывать электронные цепи переменного тока алге­браически, аналогично цепям неизменного тока. Таким комфортным расчетным способом служит способ всеохватывающих амплитуд (полный способ), введенный в электротехнику А. Е. Кеннеди и П. Ч. Штейнметцом в 1893 – 1894 гг. Этот способ, как и векторные диаграммы, основан на представлении гармонических функций в виде проекций С ПОМОЩЬЮ КОМПЛЕКСНЫХ ВЕЛИЧИН крутящихся векторов, при этом крутящиеся векторы вы­ражаются аналитически, в всеохватывающей форме. Алгебраически интер­претируя векторные диаграммы, этот способ комфортно соединяет анали­тические расчеты с геометрическими представлениями.

Все следующее изложение данного курса и радиотехнических дисциплин базируется на этом ме­тоде.

Понятно, что любая точка на всеохватывающей плоскости определяет­ся радиусом С ПОМОЩЬЮ КОМПЛЕКСНЫХ ВЕЛИЧИН-вектором этой точ­ки, т. е. вектором, начало которого совпадает с началом координат, а конец находится в точке, соответ­ствующей данному всеохватывающему числу (набросок 3.1).

Пользуясь показательной либо полярной формой записи комплекс­ного числа, имеем

.

Набросок 3.1 Вектор, изображающий всеохватывающее число

Тут А – модуль;

a – аргу­мент;

(в электротехнике не пользуются С ПОМОЩЬЮ КОМПЛЕКСНЫХ ВЕЛИЧИН обозначением , потому что буковка i обозначает ток).

Применив формулу Эйлера, можно получить тригономет­рическую форму записи комп­лексного числа

либо соответственно алгебраиче­скую форму

,

где ; .

Разумеется,

; .

Вектор, крутящийся в положи­тельном направлении, т.е. против хода часовой стрелки, с угловой ско­ростью ω, может быть выражен сле­дующим образом

, (3.1)

где ( – комплекс­ная амплитуда, представляю С ПОМОЩЬЮ КОМПЛЕКСНЫХ ВЕЛИЧИН­щая данный вектор в момент t = 0, набросок 3.2). По другому говоря, это комп­лексная величина, не зависящая от времени, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и исходной фазе данной гармо­нической функции.

Множитель ejt является опе­ратором вращения; умноже­ние всеохватывающей амплитуды на ejt значит С ПОМОЩЬЮ КОМПЛЕКСНЫХ ВЕЛИЧИН поворот вектора наугол t в положительном направ­лении.

Записывая всеохватывающую функ­цию (3.1) в тригонометрической форме

заключаем, что гармоническая функ­ция Acos(wt+a) может рассматри­ваться как действительная часть всеохватывающей функции (3.1), либо, что то же, как проекция вращающегося вектора на действительную ось.

Условно это записывается так:

.

Знак Re обозначает, что С ПОМОЩЬЮ КОМПЛЕКСНЫХ ВЕЛИЧИН берет­ся действительная часть комплекс­ной функции. К примеру,

,

где – всеохватывающая амплитуда.

Аналогично функция Asin(t+) может быть в случае необхо­димости представлена как надуманная часть всеохватывающей функции (3.1), взятая без множителя j, либо как проекция вращающегося вектора на надуманную ось.

Условно это записы­вается так

,

где знак Im обозначает, что бе С ПОМОЩЬЮ КОМПЛЕКСНЫХ ВЕЛИЧИН­рется надуманная часть всеохватывающей функции. К примеру,

.

Другой метод представления гармонической функции при помощи всеохватывающих величин основан на применении формул

; (3.2)

. (3.3)

Согласно (3.2) можно заклю­чить, что функция Acos(t+) равна геометрической сумме 2-ух комплексно сопряженных векторов, имеющих модуль A/2 и вращающих­ся в обратные стороны с схожей угловой скоростью ω.

В итоге С ПОМОЩЬЮ КОМПЛЕКСНЫХ ВЕЛИЧИН сложения таких 2-ух векторов выходит вектор, расположенный на реальной оси, т. е. для хоть какого момента вре­мени t выходит действительная величина (набросок 3.3, а).

Аналогично из (3.3) видно, что функция Asin(ωt+) равна гео­метрической разности тех же 2-ух крутящихся векторов, деленной на j. Разность этих векторов для хоть какого момента времени С ПОМОЩЬЮ КОМПЛЕКСНЫХ ВЕЛИЧИН t представ­ляет надуманную величину (набросок 3.3, б), и потому ее делят на j для получе­ния реальной функции.

а б

Набросок 3.3 Представление гармонической функции

вращающимися комплексно-сопряженными векторами

Вращение вектора в отрицатель­ном направлении (по ходу часовой стрелки) связано с понятием отри­цательной радиальный частоты (–), которое является чисто математиче­ским С ПОМОЩЬЮ КОМПЛЕКСНЫХ ВЕЛИЧИН понятием, вытекающим из вы­шеприведенных формул. Введение этого понятия в ряде всевозможных случаев удоб­но для исследования процессов в электронных цепях. Из сопоставления построения на рисунках 3.3, а и б, видно, что представ­ление гармонических функций с по­мощью 2-ух векторов, вращающих­ся в обратные стороны, для функции вида С ПОМОЩЬЮ КОМПЛЕКСНЫХ ВЕЛИЧИН Acos(t+) проще, чем для функции Asin(t+).


s-s-s-r-ili-soyuz-soldatskih-serdechnih-ran-stranica-5.html
s-s-semenova-glavnij-redaktor-stranica-4.html
s-samogo-rassveta-ya-stoyu-na-strazhe-u-dverej-ledi-rozamundi.html